90 ans, 90 heures : Ce que l’IA vient de faire aux mathématiques

 

En l’espace d’une semaine, début septembre 2026, deux annonces ont bousculé le monde des mathématiques. Le 4, Anthropic révèle que son IA Claude a formalisé, en onze jours et de façon largement autonome, la première preuve du dernier théorème de Fermat entièrement vérifiable par ordinateur. Le 8, OpenAI affirme que 10.000 agents ont résolu, en 88 heures, une part majeure du problème du millénaire de Navier-Stokes, ouvert depuis près de 90 ans.

Prises isolément, ces deux histoires sont déjà spectaculaires. Mises côte à côte, elles dessinent quelque chose de plus large : un changement dans la manière dont la connaissance scientifique se produit. Et elles posent, avec une acuité nouvelle, une question qui dépasse les mathématiques, celle de l’avenir du mathématicien, du physicien, du chimiste, du biologiste.

 

Deux exploits, expliqués simplement

Commençons par le vocabulaire, parce que sans lui, rien de ce qui suit n’a de sens. Les équations de Navier-Stokes sont les formules mathématiques qui décrivent comment un liquide ou un gaz se déplace, c’est avec elles qu’on prévoit la météo, qu’on dessine une aile d’avion ou qu’on calcule le refroidissement d’un moteur. Depuis longtemps, une question précise reste sans réponse certaine : est-il possible qu’un fluide, en partant d’un état parfaitement calme et raisonnable, se mette soudain à accélérer sans limites en un temps fini, une vitesse qui grimperait vers l’infini, ce qui n’a physiquement aucun sens ? Si la réponse est oui, cela veut dire que la formule elle-même a une faille quelque part.

OpenAI affirme avoir démontré que oui, cela peut arriver, dans un cas précis, où l’on ajoute une force extérieure qui pousse le fluide (un peu comme un ventilateur qui souffle dans l’eau). Pour y arriver, l’entreprise a fait travailler environ 10.000 «agents», des copies d’un programme d’intelligence artificielle, chacune explorant une piste différente en même temps que les autres, un peu comme une armée de chercheurs qui se répartiraient le travail. Ces agents ont échangé 2,7 millions de messages entre eux et produit l’équivalent de 130 milliards de mots de raisonnement, en 88 heures. Le résultat a ensuite été vérifié pendant 17 heures par un logiciel appelé Lean : un programme qui contrôle un raisonnement mathématique étape par étape, comme un correcteur implacable qui ne laisse passer aucune erreur de logique, aussi petite soit-elle. Une nuance compte : la version résolue est celle avec le «ventilateur». La version sans force extérieure, la plus difficile, celle qui vaut un million de dollars au Clay Mathematics Institute, l’organisme qui recense les plus grandes énigmes mathématiques, reste, elle, non résolue.

Le deuxième exploit concerne un problème complètement différent, mais tout aussi célèbre : le dernier théorème de Fermat, énoncé en 1637, qui dit qu’il n’existe pas de nombres entiers a, b et c tels que a puissance n plus b puissance n égale c puissance n, dès que n est supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles en a trouvé la preuve en 1994, après sept ans de travail solitaire, mais cette preuve est si longue et si technique qu’il a fallu des mois à d’autres mathématiciens rien que pour vérifier qu’elle ne contenait pas d’erreur. L’IA Claude, développée par Anthropic, n’a pas cherché une nouvelle preuve : elle a pris une version simplifiée de celle de Wiles et l’a traduite entièrement dans le langage Lean, c’est ce qu’on appelle «formaliser»une preuve, c’est-à-dire la réécrire dans un langage si précis qu’un ordinateur peut vérifier chaque étape sans avoir à faire confiance à qui que ce soit. Ce travail a produit 13 millions de lignes de code et vérifié plus de 30.000 petites étapes de raisonnement, en onze jours, avec très peu d’intervention humaine. Un mathématicien de l’Imperial College de Londres, Kevin Buzzard, menait le même projet de son côté depuis 2024, avec un budget prévu jusqu’en 2029, il a lui-même vérifié et confirmé le travail de Claude.

Dans les deux cas, on retrouve la même recette : un très grand nombre de copies d’IA qui travaillent en même temps sur de petits bouts d’un problème géant, plus un logiciel de vérification (Lean) qui joue le rôle d’arbitre final et ne se trompe jamais. Ce n’est plus l’image d’une IA qui donne un coup de main ponctuel à un chercheur devant son tableau noir. C’est une sorte d’usine à explorer et à vérifier, qui tourne à une vitesse et une échelle qu’aucune équipe humaine ne pourrait atteindre.

 

Ce que ces deux histoires ne prouvent pas

Il serait tentant de conclure que l’IA «fait des mathématiques» toute seule, de bout en bout. Ce n’est vrai dans aucun des deux cas, et c’est important de le comprendre :

– Pour Fermat : ce n’est pas une découverte, mais la vérification, très impressionnante techniquement, d’un raisonnement que la communauté des mathématiciens connaît et accepte déjà depuis 1995.

– Pour Navier-Stokes : la solution s’appuie sur des idées inventées par des mathématiciens humains, notamment Diego Córdoba et Luis Martínez-Zoroa. Et elle ne concerne, on l’a vu, que la version «avec ventilateur» du problème, pas la version originale, la plus dure, qui n’est toujours pas résolue et n’a pas encore été validée par les autres chercheurs du domaine.

– Les deux annonces ont provoqué des disputes sur qui mérite le crédit du travail : le mathématicien Tristan Buckmaster (New York University) a publiquement accusé OpenAI d’avoir profité de recherches qu’il menait en privé et qu’il n’avait pas encore publiées ; à Londres, Kevin Buzzard, qui travaillait sur Fermat depuis des années, s’est simplement fait devancer en vitesse par Claude.

Autrement dit : les IA ont exécuté, à une vitesse extraordinaire, un travail de construction et de contrôle très rigoureux. Mais l’étincelle de départ, l’idée d’utiliser tel type de tourbillon, l’idée de simplifier la preuve de telle façon, l’idée de découper le problème en tel morceau plutôt qu’un autre, vient, dans les deux cas, d’un cerveau humain.

Trois familles de problèmes, à ne pas confondre

Le chimiste Muhammad Sahimi (University of Southern California), dans un livre à paraître chez l’éditeur scientifique Wiley-VCH, propose une façon simple de classer les problèmes scientifiques face à l’IA, pour éviter de tout mettre dans le même panier :

– Premier cas : on connaît déjà la formule qui décrit le phénomène, et on a les données, mais faire le calcul en pratique est monstrueusement difficile ou coûteux. Navier-Stokes en est l’exemple type. Le problème des trois corps, présenté plus loin, en est un autre : on connaît les lois de la gravité depuis Newton, mais prédire ce qui va se passer sur le long terme reste redoutable.

– Deuxième cas : on a des données, mais la formule n’est que partiellement connue : certains réglages doivent être devinés à partir de l’observation plutôt que calculés à l’avance.

– Troisième cas : on a énormément de données, mais aucune formule connue du tout : c’est à l’IA de deviner elle-même la règle cachée derrière les données. C’est le cas du modèle de biologie Evo 2, présenté plus loin : personne ne connaît la formule complète qui relie une séquence d’ADN à ce qu’elle fait dans le corps, mais un programme entraîné sur des millions de génomes peut en apprendre les régularités, un peu comme on reconnaît un accent sans connaître les règles de grammaire qui le produisent.

Le cas de Fermat, lui, ne rentre dans aucune de ces trois cases, et c’est révélateur. Il ne s’agit ni de données à mesurer ni de phénomène physique à modéliser, mais de pure logique : une suite de déductions qu’on peut vérifier une à une, sans aucune mesure, sans aucun bruit, sans incertitude. Les mathématiques et les sciences de la nature n’ont donc pas du tout le même rapport à l’IA : les secondes lui demandent de dompter la complexité désordonnée du monde réel, les premières lui demandent de garantir une vérité absolue et sans exception. Une seule expression, «intelligence artificielle», désigne en réalité des usages presque sans rapport les uns avec les autres.

Ce même livre rappelle que cette famille de méthodes n’est pas nouvelle : John Hopfield et Geoffrey Hinton ont reçu le prix Nobel de physique en 2024 pour leurs travaux, vieux de plusieurs décennies, qui ont posé les bases des réseaux de neurones utilisés aujourd’hui. La frontière entre physique et intelligence artificielle était donc poreuse bien avant les histoires de Navier-Stokes et de Fermat.

 

Quelles seront les prochaines cibles ?

Si Navier-Stokes et Fermat marquent un début, la liste des grandes questions mathématiques encore sans réponse donne une idée de ce qui pourrait suivre, et de ce qui, à l’inverse, devrait résister encore très longtemps, même à l’IA.

En l’an 2000, un institut de recherche américain, le Clay Mathematics Institute, a dressé une liste de sept énigmes considérées comme les plus importantes des mathématiques, avec un million de dollars à la clé pour quiconque en résoudrait une. Une seule a été résolue à ce jour, la conjecture de Poincaré, par le mathématicien russe Grigori Perelman en 2003, qui a d’ailleurs refusé le prix et la médaille Fields qui allait avec. Parmi les cinq autres encore non résolues :

– L’hypothèse de Riemann (posée en 1859, donc âgée de 166 ans) : elle porte sur la façon dont les nombres premiers, ces nombres qui ne se divisent que par 1 et par eux-mêmes, sont répartis parmi tous les nombres. C’est sans doute le problème le plus profond des mathématiques pures, et personne ne s’attend à ce qu’il tombe bientôt, même avec l’aide de l’IA.

– P contre NP (1971) : une question d’informatique théorique qui demande, en gros, s’il existe des problèmes dont la solution est facile à vérifier une fois trouvée, mais extrêmement difficile à trouver au départ. Toute la sécurité informatique moderne repose, d’une certaine façon, sur le fait que la réponse est probablement oui.

– Les conjectures de Hodge et de Birch et Swinnerton-Dyer : deux problèmes de géométrie et de théorie des nombres très techniques, qui se prêtent mal à une exploration massive par des agents d’IA.

– Le problème de masse de Yang-Mills (1954) : il relie les mathématiques les plus abstraites à la physique des particules. Pourquoi certaines particules ont-elles une masse alors que la théorie qui les décrit semblerait dire le contraire ? C’est sans doute le pont le plus direct vers une approche du genre de celle utilisée sur Navier-Stokes.

– Et Navier-Stokes lui-même, dans sa version originale, sans la force extérieure ajoutée par OpenAI, celle-là même qui reste la cible la plus naturelle pour une suite à cette annonce.

D’autres énigmes, plus anciennes ou plus faciles à comprendre pour un non-spécialiste, sont déjà des terrains d’essai actifs pour l’IA : les centaines de petits problèmes laissés en héritage par le mathématicien Paul Erdős, sur lesquels les premiers résultats obtenus avec l’aide de l’IA sont apparus dès fin 2025 ; la conjecture de Goldbach (1742, 284 ans), qui affirme que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers ; celle des nombres premiers jumeaux (existe-t-il une infinité de paires de nombres premiers séparés seulement de 2, comme 11 et 13 ?) ; ou encore la conjecture de Collatz (1937), un jeu de calcul en apparence enfantin, sur lequel Terence Tao lui-même a mis en garde contre des preuves générées trop vite et pas assez comprises.

Du côté de la physique, au-delà de Yang-Mills, deux grandes questions resteront sans doute hors de portée d’une simple augmentation de la puissance de calcul : de quoi sont réellement faites la matière noire et l’énergie noire, qui composent plus de 90% de l’univers ? Et comment unifier la théorie de la gravité (la relativité générale) avec celle du monde des particules (la mécanique quantique), deux théories qui fonctionnent très bien chacune de leur côté mais qu’on ne sait pas encore faire cohabiter ? Ce sont des problèmes sans expérience simple pour trancher, donc l’IA peut y aider à passer au crible des données d’observation, mais pas à «prouver» une réponse comme en mathématiques. À l’inverse, comprendre précisément la turbulence (le comportement désordonné des fluides en mouvement rapide), ou percer le mécanisme encore mystérieux de certains matériaux qui conduisent l’électricité sans aucune résistance à haute température, ressemblent à des cas où passer au crible un très grand nombre de possibilités pourrait faire une différence rapide, un peu comme on le fait déjà pour découvrir de nouveaux matériaux.

Un autre genre de cible : le problème des trois corps

Tous les problèmes historiques ne se règlent pas par une preuve formelle, certains relèvent de la prédiction plutôt que de la démonstration. Le problème dit «des trois corps», en mécanique céleste (l’étude du mouvement des astres), en est l’exemple le plus ancien. Formulé dès la fin du XVIIe siècle par Isaac Newton, il demande : si trois objets célestes, par exemple deux étoiles et une planète, s’attirent mutuellement par gravité, peut-on prédire exactement où ils seront dans le futur ? Contrairement à une idée reçue très répandue, le mathématicien français Henri Poincaré n’a pas démontré, à la fin du XIXe siècle, que ce problème était «impossible à résoudre». En réalité, un mathématicien finlandais, Karl Sundman, en a même trouvé une solution mathématique exacte dès 1912, sous la forme d’une somme infinie de termes. Le problème, c’est que cette somme met un temps si long à donner un résultat précis qu’elle est totalement inutilisable en pratique, un peu comme une recette de cuisine parfaitement exacte mais qui demanderait un million d’années à préparer. La vraie découverte de Poincaré est ailleurs : il a montré que ce genre de système peut être chaotique, c’est-à-dire qu’un tout petit changement au départ, la position d’une planète décalée d’un cheveu, peut complètement changer le résultat des années plus tard. C’est cette découverte qui a fondé toute une branche des mathématiques appelée aujourd’hui la théorie du chaos.

C’est précisément sur ce type de problème que l’IA a déjà fait une différence concrète, et cela ne date pas d’hier : dès 2019, des chercheurs de l’université de Cambridge ont entraîné un réseau de neurones, un programme qui apprend par l’exemple plutôt que d’appliquer une formule, à prédire l’évolution de systèmes à trois corps. Résultat : des prédictions jusqu’à cent millions de fois plus rapides que les meilleurs logiciels de calcul classiques, pour une précision comparable. Ici, l’IA ne prouve rien du tout et ne remplace aucun raisonnement mathématique : elle apprend simplement à deviner, très vite, ce qu’un calcul traditionnel mettrait beaucoup plus de temps à établir précisément. C’est un troisième genre de contribution, différent de la preuve façon Navier-Stokes ou de la vérification façon Fermat : celui de la prédiction accélérée, pour des systèmes trop compliqués pour être résolus par une formule, mais qu’une machine peut apprendre à anticiper à partir d’exemples.

Entre la découverte du chaos par Poincaré et cette prouesse récente de calcul, il faut aussi raconter un chapitre entièrement humain de cette histoire, resté injustement méconnu. Abbas Bahri (1955–2016) est un mathématicien tunisien de renommée internationale, reconnu pour ses travaux majeurs dans une branche des mathématiques appelée le calcul des variations, en résumé, l’art de trouver, parmi une infinité de possibilités, celle qui rend une certaine quantité (une énergie, une longueur, un potentiel) la plus petite ou la plus grande possible. Ancien élève de l’École normale supérieure de Paris, il fut le premier Tunisien admis dans cette école prestigieuse en mathématiques, il soutient sa thèse en 1981 sous la direction du grand mathématicien Haïm Brezis, avant de devenir professeur pendant de longues années à l’université Rutgers, aux États-Unis, où il dirige un centre de recherche sur les équations non linéaires. Il a aussi enseigné et fait de la recherche en Tunisie, à l’université de Tunis, ainsi qu’en France, à l’École polytechnique et à l’Institut des hautes études scientifiques (IHES). En 1989, il reçoit le prix Langevin de l’Académie des sciences de Paris et, la même année, le tout premier prix Fermat de mathématiques, un prix distinct du théorème du même nom, partagé avec le mathématicien Kenneth Ribet. Sa contribution la plus célèbre est une idée qu’il a appelée les «points critiques à l’infini» : une façon d’apprivoiser mathématiquement des situations où les méthodes habituelles s’effondrent parce que certaines quantités deviennent infinies ou se dérobent, un peu comme apprendre à cartographier précisément le bord d’une carte, là où toutes les cartes ordinaires s’arrêtent et deviennent inutilisables.

C’est exactement cette idée qu’il a appliquée, avec le mathématicien américain Paul Rabinowitz, au problème des trois corps, entre 1989 et 1991. Le souci technique est le suivant : quand deux des trois corps entrent en collision, la formule qui décrit la force qui les attire (la force de gravité) devient infinie à cet instant précis, ce qui rend les méthodes mathématiques habituelles inutilisables juste à cet endroit, un peu comme une carte routière qui aurait un trou noir pile là où l’on veut passer. Bahri a eu l’idée de traiter ces collisions elles-mêmes comme des «points critiques à l’infini», en étudiant la forme géométrique de l’ensemble de toutes les trajectoires possibles (ce qu’on appelle la topologie) et en inventant de nouvelles techniques pour «réparer»mathématiquement les endroits à problème. Résultat : il a réussi à démontrer qu’il existe bel et bien des trajectoires qui se répètent indéfiniment (des orbites périodiques) et qui évitent toute collision, une prouesse là où les méthodes classiques semblaient totalement impuissantes. Sa rigueur et son engagement pour la recherche en Tunisie ont marqué des générations entières de mathématiciens. Une leçon utile à retenir : bien avant que les machines n’accélèrent la prédiction de ces systèmes, c’est une idée purement humaine, née du croisement de deux domaines mathématiques très éloignés l’un de l’autre, qui avait déjà repoussé les limites du possible.

 

Une tradition tunisienne dans l’étude des fluides

Abbas Bahri n’est pas un cas isolé : la Tunisie compte une communauté de mathématiciens particulièrement reconnue dans le monde entier pour l’étude des équations de Navier-Stokes et, plus largement, de la mécanique des fluides, ce qui donne un relief particulier à l’annonce d’OpenAI.

Nader Masmoudi, professeur au Courant Institute de l’université de New York, en est l’une des plus grandes figures mondiales. Dès 1998, il publie avec le mathématicien français Pierre-Louis Lions un travail qui fait référence, sur la question de savoir si les solutions «faibles» des équations de Navier-Stokes, une version un peu assouplie du problème, sont uniques ou non. Il a, depuis, résolu plusieurs autres questions majeures, notamment sur ce qui se passe quand on fait progressivement disparaître la viscosité d’un fluide (le passage des équations de Navier-Stokes à celles, plus simples, d’Euler). Hammadi Abidi, de l’Université de Tunis-El Manar, est lui aussi une référence internationale : ses travaux portent sur des versions de Navier-Stokes où la densité du fluide change d’un endroit à l’autre, par exemple de l’eau mélangée à de l’huile, et sur les conditions précises qui garantissent qu’une solution existe et se comporte raisonnablement dans le temps.

Autour d’eux, plusieurs autres chercheurs tunisiens ou d’origine tunisienne prolongent cette tradition : Ramzi May, de l’Université de Carthage, travaille sur l’existence et la régularité des solutions de Navier-Stokes en trois dimensions ; Taoufik Hmidi, chercheur au CNRS et à l’Université de Rennes, surtout connu pour ses travaux sur les tourbillons dans les fluides en deux dimensions, croise souvent ces questions avec celles de Navier-Stokes ; Mohamed Majdoub, de l’Université d’Imam Abdulrahman Bin Faisal, étudie comment les solutions de ces équations se comportent quand on part de conditions de départ peu régulières, c’est-à-dire un peu chaotiques. Cette concentration d’expertise sur un même sujet illustre, en creux, le propos central de cet article : les idées qui permettraient un jour de prouver la version originale et la plus difficile de Navier-Stokes existent peut-être déjà, dispersées dans des décennies de travaux comme les leurs. Reste à savoir si une future exploration par des IA saura aller les chercher et s’appuyer dessus, ou si elle devra les redécouvrir à l’aveugle, en réinventant la roue.

Le point commun qui distingue les problèmes les plus susceptibles d’être résolus prochainement n’est donc pas leur ancienneté, mais leur structure : existe-t-il un moyen de vérifier formellement une preuve ? Peut-on découper le problème en petits morceaux traitables séparément ? Ou, comme pour les trois corps, le phénomène est-il assez régulier statistiquement pour qu’un modèle apprenne à le prédire, même sans formule exacte ? L’hypothèse de Riemann et la gravité quantique resteront sans doute hors de portée bien plus longtemps que Goldbach, Collatz, les problèmes d’Erdős ou les systèmes chaotiques qu’on apprend déjà à prédire plutôt qu’à résoudre par le calcul.

(A suivre)